Как развить мышление для высшей математики
Высшая математика использует выдуманные правила для создания моделей и взаимосвязей.
Математическое образование
Учебники редко фокусируются на понимании; в основном это решение проблем с формулами «подключи и пей». Мне грустно, что прекрасные идеи подвергаются такой механической обработке:
Теорема Пифагора касается не только треугольников . Речь идет о взаимосвязи между похожими формами, расстоянии между любым набором чисел и многом другом. е – это не просто число. Речь идет о фундаментальных отношениях между всеми темпами роста. Натуральный логарифм не только обратная функция . Речь идет о количестве времени, которое необходимо для роста. Элегантный, “а-ха!” идеи должны быть в центре нашего внимания, но мы оставляем это студентам, чтобы они случайно наткнулись на них самих. Я попал в мгновение ока после адской зубрежки в колледже; с тех пор я хотел найти и поделиться этими прозрениями, чтобы избавить других от такой же боли.
Но это работает в обоих направлениях – я хочу, чтобы вы тоже поделились со мной своими мыслями. Больше понимания, меньше боли, и все выигрывают.
Высшая математика развивается со временем
Я считаю математику способом мышления, и важно видеть, как это мышление развивалось, а не только показывать результат. Попробуем на примере.
Представьте, что вы пещерный человек, занимающийся математикой. Одна из первых проблем будет заключаться в том, как считать . Со временем было разработано несколько систем: таблица системы счисления Нет правильной системы, и у каждой есть свои преимущества: Унарная система: рисуйте линии на песке – настолько просто, насколько это возможно. Отлично подходит для ведения счета в играх; вы можете добавить к номеру без стирания и перезаписи.
Римские цифры: более продвинутые унарные символы с сокращениями для больших чисел.
Десятичные дроби: огромное понимание того, что числа могут использовать «позиционную» систему с местом и нулем.
Двоичный: простейшая позиционная система (две цифры, вкл. И выкл.), Поэтому она отлично подходит для механических устройств.
Научная нотация: Чрезвычайно компактный, позволяет легко измерить размер и точность чисел (1E3 против 1.000E3). Думаешь, мы закончили? Ни за что. Через 1000 лет у нас будет система, в которой десятичные числа будут выглядеть столь же причудливыми, как римские цифры.
Отрицательные числа не так реальны
Давайте еще немного подумаем о числах. Приведенный выше пример показывает, что наша система счисления является одним из многих способов решения проблемы «подсчета».
Римляне сочли бы ноль и дроби странными, но это не значит, что «ничто» и «часть к целому» не являются полезными понятиями. Но посмотрите, как каждая система воплощает новые идеи.
Дроби (1/3), десятичные дроби (0,234) и комплексные числа (3 + 4i) – это способы выразить новые отношения. Они могут не иметь смысла прямо сейчас, точно так же, как ноль не имел смысла для римлян. Нам нужны новые отношения в реальном мире (например, долги), чтобы они могли щелкнуть.
Отрицательные числа могут выражать отношения:
- Положительные числа обозначают избыток коров.
- Ноль означает отсутствие коров
- Отрицательные числа представляют собой дефицит коров, которые, как предполагается, подлежат выплате.
Но отрицательного числа «на самом деле нет» – есть только взаимосвязь, которую они представляют (избыток / дефицит коров). Мы создали модель «отрицательного числа», чтобы помочь в бухгалтерском учете, даже если вы не можете держать в руке -3 коров. (Я намеренно использовал другую интерпретацию того, что означает «отрицательный»: это другая система счета, точно так же, как римские цифры и десятичные дроби – разные системы счета.)
Кстати, отрицательные числа не принимались многими людьми, в том числе западными математиками, до 1700-х годов. Идея негатива считалась «абсурдной». Отрицательные числа действительно кажутся странными, если вы не видите, как они представляют сложные отношения в реальном мире, такие как долг.
Я хочу поделиться своими открытиями в надежде, что это поможет вам в изучении математики:
- Математика создает модели, которые имеют определенные отношения
- Мы пытаемся найти явления реального мира, которые имеют такую ??же взаимосвязь.
- Наши модели постоянно совершенствуются . Может появиться новая модель, которая лучше объясняет эту взаимосвязь (римские цифры в десятичной системе).
- Конечно, некоторые модели кажутся бесполезными: «Что хорошего в мнимых числах?» – спрашивают многие студенты. Это правильный вопрос с интуитивно понятным ответом .
Использование мнимых чисел ограничено нашим воображением и пониманием – точно так же, как отрицательные числа «бесполезны», если у вас нет идеи долга, мнимые числа могут сбивать с толку, потому что мы действительно не понимаем отношения, которые они представляют.
Высшая математика предоставляет модели
Развитие интуиции делает обучение увлекательным – даже бухгалтерский учет неплох, если вы понимаете проблемы, которые он решает. Комплексные числа, исчисление и другие неуловимые темы, важно сосредоточится на определённой теме на отношениях, а не на доказательствах и механике.
